d>0,a1>0,证明1/(a1*a2)+1/(a2*a3)

1/a1*a2=(1/d)*d/(a1a2)
=(1/d)(a2-a1)/a1a2
=(1/d)[a2/a1a2-a1/a1a2)
=(1/d)(1/a1-1/a2)
同理
1/a2a3=(1/d)(1/a2-1/a3)
……
1/[ana(n-1)]=(1/d)[1/an-1/a(n+1)]
相加，中间正负抵消
所以1/(a1*a2)+1/(a2*a3)+1/(a3*a4)……+1/(an*an+1)=(1/d)[1/a1-1/a(n+1)]

1/(a1*a2)=（1/a1 - 1/a2）/（a2-a1）
=（1/a1 - 1/a2）/d
1/(a2*a3)=（1/a2 - 1/a3）/（a3-a2）
=（1/a2 - 1/a3）/d
......

原式=(1/d)[（1/a1 - 1/a2）+（1/a2 - 1/a3）+...+(1/an - 1/an+1) 中间项全部消除了
=(1/d)(1/a1 - 1/an+1)

先要知道
1/x(x+d)=1/d(1/x-1/x+d)
那么
1/(a1*a2)+1/(a2*a3)+1/(a3*a4)……+1/(an*an+1)
可变形为
1/d(1/a1-1/a2)+1/d(1/a2-1/a3)+1/d(1/a3-1/a4)+……+1/d(1/an/an+1)
取括号后中间很多项可以相互相加为0
化简为(1/d)*(1/a1)+1/d(-1/a2+1/a2-1/a3+1/a3-……-1/an+1/an)-(1/d)(1/an+1)
=(1/d)*(1/a1)-(1/d)(1/an+1)
=1/d(1/a1-1/an+1)
所以等式成立。

1/(a1*a2)+1/(a2*a3)+1/(a3*a4)……+1/(an*an+1)=1/(a2-a1)*（1/a1-1/a2）+……+1/(an-an+1)*（1/an-1/an+1）=1/d（1/a1